Documentación complementaria

BLOQUE III: SISTEMAS DE DEDUCCIÓN

Se repartió los exámenes y empezamos el bloque 3.

DEDUCCIÓN NATURAL

DN: reglas de inferencia + premisas = conclusión.

- Método directo para probar la validez de argumentos. (de las premisas “vamos” a la conclusión)

- Construye una Deducción formal o derivación formada por secuencia finita de fbf en donde una de ellas es la conclusión.

- El método selecciona una regla de inferencia con la que se obtiene una nueva fbf a partir de otras.

- El proceso finaliza cuando la fbf es la conclusión.

REALIZAR LA DEDUCCIÓN

Escribimos las fbf en líneas numeradas:

- Premisas (identificarlas).

- Aplicamos reglas de inferencia a fbf para obtener nuevas fbf.

- Comentarios a fbf nuevas:

· la regla de inferencia aplicada

· nº de línea de fbf a las que se aplica.

- Señalar subdeducciones (supuestos Provisionales).

REGLAS DE INFERENCIA

Ejercicios realizados en clase: EJERCICIOS

Continuación bloque II

Continuamos el bloque 2 y realizamos el examen

RESUMEN (continuación)

Interpretación de predicados

A cada predicado se le asigna una relación concretan-aria definida en el dominio de referencia D mediante una correspondencia:

P: Dⁿ→{V,F}.

Interpretación de los cuantificadores

∀xP(x):se interpreta como V si la fbf P(x) lo es para cualquier elemento de D asignado a x; se interpreta como Fsi lo es para algún elemento del dominio.

∃xP(x):se interpreta como V si la fbf P(x) es verdadera para algún elemento de D asignado a x; se interpreta como Fsi lo es para todos los elementos del dominio.

Métodos para la demostración semántica de la validez de un argumento

1. Contraejemplo.

Para demostrar que una fbf Q es consecuencia lógica de un conjunto de premisas usamos el método del contraejemplo, y se basa en buscar una I contramodelo.

1º.-Suponemos que existe I. contramodelo

2º.-Se interpretan las componentes de cada fbf

3º.-Si aparece contradicciónèarg. Correcto

4º.-Si no èarg. NO correcto.

2. Métodos mecánicos.

Demostrando que la fbf:P1 ∧P2 ∧…Pn→Q=¬P1∨¬P2∨…∨Q= ¬(P1 ∧P2 …∧¬Q) que asociada al argumento es tautología.

Teorema de deducción (TD)

Si es correcta la deducción D1:P1, P2,…Pn⇒Q también lo es D2: P1, P2,…Pn-1⇒Pn→Q y viceversa.

Teorema 1:P1, P2,…Pn⇒Q es correcto sii, la fbfP1→( P2 →(P3…→(Pn→Q)) …)) es una tautología.

Teorema 2: Si P1, P2, …Pn⇒Q es correcto entonces P1∧P2∧…∧Pn⇒Q también, y viceversa.

Estudio de la validez de Argumentos con M. Mecánicos

1. Método del cuadro: Permite demostrar si una fbf es tautología, contradicción o contingente.

1.-Si en todas las conjunciones elementales aparece un literal afirmado y negado: CONTRADICCIÓN.

2.-Si hay conjunciones elementales de un solo literal se le asigna el valor F y se reduce la fbf.

3.-Si no paso 2, se elige conjunción y obtenemos dos FND:C v B= (lit∧D) v B = (lit v B) ∧(D v B)y volvemos al paso 2.

4.-Se repiten 2 y 3 hasta obtener una conjunción elemental: Si disyunción de literal y complementario: fbf TAUTOLOGÍA Sino: fbf CONTINGENTE.

2. Método de Davis-Putman: Permite demostrar si una fbf es tautología, contradicción o contingente.

1.-Si en todas las disyunciones elementales aparece un literal afirmado y negado: TAUTOLOGÍA.

2.-Si hay disyunciones elementales de un solo literal se le asigna el valor V y se reduce la fbf.

3.-Si un literal aparece sólo en un estado se le asigna el valor V y se reduce la fbf.

4.-Sino, elegir literal (l) que desaparece de la fbf. Hacer: B= disy. que contienen l;C: disy. Que contienen ¬l;D: resto

Obtener FNC sin l: [∧(b v c) ] ∧D. y volvemos al paso 2. Si conjunción de literal y complementario: fbf CONTRADICCIÓN

Sino: fbf CONTINGENTE.

BLOQUE II

Hoy empezamos el Bloque II,

RESUMEN

Teoría semántica: valida argumentos a partir de las interpretaciones de sus fbf componentes.

Componentes de una fbf:

- Variables proposicionales

- Conectivas.

· Predicados con argumentos const/vbles/función.

* Cuantificadores.

Partimos de que toda fbf es verdadera o falsa pero no ambas.

Interpretación lógica

Asignación de significados (V/F) a sus fbf componentes básicas.

Interpretar una fbf es determinar si la fbf es V o F a partir del conjunto de significados a sus componentes básicas.

Si con dicho conjunto la fbf es V se dice que la I es un modelo de la fbf:

- Modelo: conjunto de asignaciones a las componentes básicas de una fbf que hacen que ésta se interprete como verdadera.

Si con dicho conjunto la fbf es F se dice que la I es un contramodelo de la fbf:

- Contramodelo: …la fbf se interpreta como falsa.

Nºinterpretaciones fbf:

- proposicional: 2ⁿ n: vbles proposicionales.

- predicativa: 2^m, m = dⁿ, d = nºelementos de D. n = aridadpredicado (vble).

Interpretación de las conectivas

Interpretación de fbf moleculares según el conjunto de interpretaciones

- A es Tautología o fbf válida si A es verdadera para todas las interpretaciones de sus componentes (todas las I del conjunto de asignaciones es modelo).

- A es Contradicción o fbfno válida si A es falsa para todas las interpretación (todas las I son contramodelo).

- A es Contingencia si existen interpretaciones que hacen que la fbfA sea verdadera y otras que la hacen falsa.

Tablas de la verdad

Permite demostrar si una fbfestautología, contradicción o contingencia.

Proceso:

1º.-Determinar el nº de interpretaciones de la fbf (nº de filas).

2º.-Construir la TV según el modelo elegido para validar la fbf:

- M. acumulativo

- M.por pasos

3º.-Interpretar las componentes de la fbf según jerarquía.

4º.-Analizar la columna resultado (componente principal de fbf).

5º.-Establecer valor semántico conforme el conjunto de I.

Una fbf es satisfacible si tiene una I. modelo, ed si existe alguna interpretación que la haga V

Una fbf es insatisfacible si y sólo si es F para todas sus interpretaciones.

A es satisfaciblesi y sólo si ¬Ano es válida

A es insatisfaciblesi y sólo si ¬Aes válida

A es válida si y sólo si ¬Aes insatisfacible

Def. Un conjunto de fórmulas Γes satisfacible o consistente si existe una interpretación I que es modelo para todas las fbf de Γ, ed, si existe una I que hace verdaderas, a la vez, a todas las fbf de Γ.

Def.Un conjunto de fórmulas Γes Insatisfaciblesi no existe ninguna interpretación I que es modelo para todas las fbf de Γ.

Tema 4 Formas normales

Hoy repartió los exámenes realizados la semana anterior y terminamos el bloque 1 con el tema 4. Hicimos ejercicios sobre el tema 4.

Resumen tema 4: Formas normales

Características de las fbf escritas en forma normal

1º - Sólo conectivas: Conjunción (∧), Disyunción (∨) y Negación (¬).

2º - El negador sólo afecta a fbf atómicas.

3º - Si conectiva principal la conjunción: Forma Normal Conjuntiva (FNC).

Si conectiva principal la disyunción: Forma Normal Disyuntiva (FND).

Forma normal conjuntiva (FNC)

Forma normal disyuntiva (FND)

Método de reducción a forma normal

1º) Eliminar implicador: A →B ≡ ¬A ∨B ≡ ¬(A ∧ ¬B).

2º) Normalizar negador: ¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)

¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)

¬¬A ≡ A

3º) Exteriorizar conjuntores FNC A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

(A ∧ B) ∨ C ≡ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)

disyuntores FND A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

(A ∨ B) ∧C ≡ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

4º) Simplificar y ordenar:

A ∨B ≡ B ∨ A A ∧B ≡ B ∧ A

A ∨A ≡ A A ∧A ≡ A

A ∧ (A ∨ B) ≡ A A ∨ (A ∧ B) ≡ A

Forma clausal

Cláusula : disyunción de literales.

Cl1 = D1

Cl2 = D2,

. . .

Cln = Dn

Proceso para calcular la FC de una fbf cuantificada

1º.- Normalizar la fbf

2º .- Renombrar variables.

3º.- Aplicar Skolem (eliminar existenciales).

4º.- Aplicar Prenex.

5º.- Prescindir de cuantificadores universales.

6º.- Obtener la FNC de la matriz de la fbf.

7º.- Extraer las cláusulas.

8º.- Renombrar las variables.

· Con Skolem Eliminamos los cuantif. existenciales

Existencial no está en el alcance de un universal: Sustituir la variable por una constante: Constante de Skolem.

Existencial si está en el alcance de un universal: Sustituir la variable por una función: Función de Skolem.

· Con Prenex manipulamos los cuantif. Universales

- 1º.- La fórmula parcial no contiene la variable cuantificada.

- 2º.- La fórmula parcial si contiene a la variable cuantificada.

Ejercicios de clase

FNC n=3(con 3 disyunciones)

D1 D2 D3

m=1 m=1 m=1

FND

C1 C2 C3

m=1 m=1 m=1

FND

Morgan

¬¬A=A

Repaso antes del control 1

Hoy se realizó un pequeño repaso de lo visto anteriormente para luego hacer el pequeño control.

Ejercicios de repaso:

Pedro es alumno y estudia lógica.

Pedro, Juan y Pepe son alumno.

Pedro, Juan y Pepe estudian lógica.

Si Pedro estudia lógica, Juan también.

Sólo si Pedro estudia lógica, Juan también.

Todos los alumnos estudian lógica.

Los alumnos Pedro y Juan son amigos de Carlos que es profesor.

Los alumnos son amigos de algunos profesores.

Algunos alumnos estudian lógica.

Algunos alumnos son amigos de todos los profesores.

Ningún alumno es antipático.

Continuación tema 2 y 3

Hoy hemos continuado explicando el tema 2 y empezamos el tema 3. También hemos realizado varios ejemplos de la relación entre conectivas.
Nos ha informado que el próximos viernes se realizará el control de lo uq ehemos dado hasta el momento.

Continuación resumen detallado tema 2

FÓRMULA PROPOSICIONAL BIEN FORMADA (FBF)

Son fbf si cumplen:

1.- Variable proposicional.
2.- Si A es una fbf , ¬A es fbf.
3.- Si A y B son fbf también:
A ^ B, A v B, A -> B, A <-> B.
4.- Sólo son fbf 1, 2 y 3.

Ejemplos:
1. Av^B no es una fbf
2. ¬¬A si es una fbf

RELACIÓN CONECTIVAS

1. ¬ (p ^ q) = ¬p v ¬q
2. ¬ (p v q) = ¬ p ^ ¬q
3. p -> q = ¬ p v q =¬(p ^¬q)
4. p <-> q = (p -> q) ^ ( q -> p)

Ejemplos:
Si tomo café no duermo => ca -> ¬du =>que es lo mimso que
O no tomo café o no duermo => ¬ca v ¬du => que es lo mismo que
No sucede que tome café y duerma => ¬(ca ^du).

No sucede que si tomo café, duerma => ¬(ca -> du) = ¬(¬ca v du) = ¬¬ca ^¬du= ca ^¬du.

ca ^du= ¬(ca->du)= ¬(du-> ¬ca)=¬(¬ca v ¬du).

ca v du= ¬ca->du= ¬du -> ca = ¬(¬ca ^¬du).

A->B= ¬A v B= ¬(A^¬B)= ¬B -> ¬A= ¬¬B v ¬A= ¬A v B.

Resumen detallado tema 3: El lenguaje de la lógica de predicados.

Formaliza proposiciones en donde es relevante los individuos que intervienen y los predicados que les afectan midiante el alfabeto y las regla de formación de fórmulas.

COMPONENTES DEL LENGUAJE PREDICATIVO

1.Términos.
- constantes: objetos concretos del dominio. a, b, c.....
- variables: cualquier elemento del dominio. x, y, z,...
2. Predicados.
- monádicos: propiedades. P(arg), Q(arg),...
- poliádicos: relaciones entre objetos. P(arg1,arg2,...argn),...
3. Cuantificación.

Primer dia de clase

Hoy se ha explicado unas definiciones como la lógica de preposiciones, de predicados, que es una preposición, ...
También nos hemos introducido en el mundo del sistema formal de la lógica de primer orden (lenguaje formal, teoría semántica,sistemas de deducción). Más adelante vimos lo que era el razonamiento válido y vimos unos razonamientos sencillos.
Las definiciones de proposición molecular y atómica ha sido lo último del tema 1 que hemos dado.
en el tema 2 ya hemos visto el lenguaje proposicional y sus conectores lógicos.

Resumen detallado tema 1

Lógica de Proposiciones: trabaja la información buscando proposiciones y las conexiones entre ellas .
Lógica de Predicados: trabaja la información buscando en las proposiciones los sujetos que intervienen, sus propiedades y las relaciones entre ellos.

SISTEMA FORMAL de la LÓGICA de PRIMER ORDEN

Lenguaje formal: alfabeto + REGLAS para formación de fórmulas lógicas.
Teoría semántica: relación entre el lenguaje y el conjunto de significados de una fórmula (V o F).
Sistemas de deducción: métodos deductivos para determinar la validez de los azonamientos. Permiten obtener conclusiones usando reglas de inferencia.

RAZONAMIENTO

Deducción a partir de una premisas de las cuales obtenemos una conclusión aplicande reglas de inferencia.
Ejemplo:
Premisa 1: Si estudio Lógica apruebo Álgebra.
Premisa 2: No he aprobado Álgebra.
Conclusión: No he estudiado Lógica.
Este razonamiento es correcto.
Ejemplo 2:
Premisa 1: Si estudio Lógica apruebo Álgebra.
Premisa 2: No estudio Lógica.
Conclusión: No apruebo Álgebra.
En cambio este razonamiento no es correcto ya que si que podriamos aprobar álgebra.

PROPOSICIONES

1. Proposición atómica: sentencia declarativa indivisible que puede ser verdadera o falsa.
2. Proposición molecular: sentencia declarativa compuesta de varias sentencias atómicas unidas por conectores lógicos.

Resumen detallado tema 2: Lenguaje proposicional

Alfabeto: conjunto no vacío de símbolos:
Variables proposicionales: p, q, r,...
Conectivas lógicas: ¬, ^,v,->,<->.
Símbolos auxiliares: (,), etc.
Gramática: Reglas de formación de fórmulas. Se obtienen fórmulas bien formadas (fbf).

CONECTORES LÓGICOS

Negador ¬: - No p
- No ocurre que p
- Es falso que p
- No es cierto que p

Conjunción ^:- p y q
- p pero q
- p aunque q
- p sin embargo q
- p no obstante q

Disyunción v: - o p o q o ambas cosas
- al menos p o q
- como mínimo p o q

Implicador ->:- si p entonces q
- p sólo si q
- q si p
- q necesario para p
- p suficiente para q
- no p a menos que q

Coimplicador <->: - p si y sólo si q
- p equivale a q
- p cuando y sólo cuando q

EJERCICIOS HECHOS EN CLASE

*li: María es lista, gu: María es guapa.

Es necesario, pero no suficiente que María sea uapa para que sea lista.
(li->gu)^(gu->li)
María es guapa a menos que sea lista.
¬gu->li

EJERCICIOS PROPUESTOS PARA CASA

A menos que María estudie lógica es feliz.
A menos que María no estudi lógica no es feliz.
Es suficiente que María estudie lógica para que sea feliz, pero para que sea feliz es necesario que estudie lógica.
Sólo si María es feliz estudia lógica.

PRUEBA LÓGICA 1

Y esto ha sido todo por hoy, menos mal....
Hasta la próxima semana.