Continuación bloque II

Continuamos el bloque 2 y realizamos el examen

RESUMEN (continuación)

Interpretación de predicados

A cada predicado se le asigna una relación concretan-aria definida en el dominio de referencia D mediante una correspondencia:

P: Dⁿ→{V,F}.

Interpretación de los cuantificadores

∀xP(x):se interpreta como V si la fbf P(x) lo es para cualquier elemento de D asignado a x; se interpreta como Fsi lo es para algún elemento del dominio.

∃xP(x):se interpreta como V si la fbf P(x) es verdadera para algún elemento de D asignado a x; se interpreta como Fsi lo es para todos los elementos del dominio.

Métodos para la demostración semántica de la validez de un argumento

1. Contraejemplo.

Para demostrar que una fbf Q es consecuencia lógica de un conjunto de premisas usamos el método del contraejemplo, y se basa en buscar una I contramodelo.

1º.-Suponemos que existe I. contramodelo

2º.-Se interpretan las componentes de cada fbf

3º.-Si aparece contradicciónèarg. Correcto

4º.-Si no èarg. NO correcto.

2. Métodos mecánicos.

Demostrando que la fbf:P1 ∧P2 ∧…Pn→Q=¬P1∨¬P2∨…∨Q= ¬(P1 ∧P2 …∧¬Q) que asociada al argumento es tautología.

Teorema de deducción (TD)

Si es correcta la deducción D1:P1, P2,…Pn⇒Q también lo es D2: P1, P2,…Pn-1⇒Pn→Q y viceversa.

Teorema 1:P1, P2,…Pn⇒Q es correcto sii, la fbfP1→( P2 →(P3…→(Pn→Q)) …)) es una tautología.

Teorema 2: Si P1, P2, …Pn⇒Q es correcto entonces P1∧P2∧…∧Pn⇒Q también, y viceversa.

Estudio de la validez de Argumentos con M. Mecánicos

1. Método del cuadro: Permite demostrar si una fbf es tautología, contradicción o contingente.

1.-Si en todas las conjunciones elementales aparece un literal afirmado y negado: CONTRADICCIÓN.

2.-Si hay conjunciones elementales de un solo literal se le asigna el valor F y se reduce la fbf.

3.-Si no paso 2, se elige conjunción y obtenemos dos FND:C v B= (lit∧D) v B = (lit v B) ∧(D v B)y volvemos al paso 2.

4.-Se repiten 2 y 3 hasta obtener una conjunción elemental: Si disyunción de literal y complementario: fbf TAUTOLOGÍA Sino: fbf CONTINGENTE.

2. Método de Davis-Putman: Permite demostrar si una fbf es tautología, contradicción o contingente.

1.-Si en todas las disyunciones elementales aparece un literal afirmado y negado: TAUTOLOGÍA.

2.-Si hay disyunciones elementales de un solo literal se le asigna el valor V y se reduce la fbf.

3.-Si un literal aparece sólo en un estado se le asigna el valor V y se reduce la fbf.

4.-Sino, elegir literal (l) que desaparece de la fbf. Hacer: B= disy. que contienen l;C: disy. Que contienen ¬l;D: resto

Obtener FNC sin l: [∧(b v c) ] ∧D. y volvemos al paso 2. Si conjunción de literal y complementario: fbf CONTRADICCIÓN

Sino: fbf CONTINGENTE.

BLOQUE II

Hoy empezamos el Bloque II,

RESUMEN

Teoría semántica: valida argumentos a partir de las interpretaciones de sus fbf componentes.

Componentes de una fbf:

- Variables proposicionales

- Conectivas.

· Predicados con argumentos const/vbles/función.

* Cuantificadores.

Partimos de que toda fbf es verdadera o falsa pero no ambas.

Interpretación lógica

Asignación de significados (V/F) a sus fbf componentes básicas.

Interpretar una fbf es determinar si la fbf es V o F a partir del conjunto de significados a sus componentes básicas.

Si con dicho conjunto la fbf es V se dice que la I es un modelo de la fbf:

- Modelo: conjunto de asignaciones a las componentes básicas de una fbf que hacen que ésta se interprete como verdadera.

Si con dicho conjunto la fbf es F se dice que la I es un contramodelo de la fbf:

- Contramodelo: …la fbf se interpreta como falsa.

Nºinterpretaciones fbf:

- proposicional: 2ⁿ n: vbles proposicionales.

- predicativa: 2^m, m = dⁿ, d = nºelementos de D. n = aridadpredicado (vble).

Interpretación de las conectivas

Interpretación de fbf moleculares según el conjunto de interpretaciones

- A es Tautología o fbf válida si A es verdadera para todas las interpretaciones de sus componentes (todas las I del conjunto de asignaciones es modelo).

- A es Contradicción o fbfno válida si A es falsa para todas las interpretación (todas las I son contramodelo).

- A es Contingencia si existen interpretaciones que hacen que la fbfA sea verdadera y otras que la hacen falsa.

Tablas de la verdad

Permite demostrar si una fbfestautología, contradicción o contingencia.

Proceso:

1º.-Determinar el nº de interpretaciones de la fbf (nº de filas).

2º.-Construir la TV según el modelo elegido para validar la fbf:

- M. acumulativo

- M.por pasos

3º.-Interpretar las componentes de la fbf según jerarquía.

4º.-Analizar la columna resultado (componente principal de fbf).

5º.-Establecer valor semántico conforme el conjunto de I.

Una fbf es satisfacible si tiene una I. modelo, ed si existe alguna interpretación que la haga V

Una fbf es insatisfacible si y sólo si es F para todas sus interpretaciones.

A es satisfaciblesi y sólo si ¬Ano es válida

A es insatisfaciblesi y sólo si ¬Aes válida

A es válida si y sólo si ¬Aes insatisfacible

Def. Un conjunto de fórmulas Γes satisfacible o consistente si existe una interpretación I que es modelo para todas las fbf de Γ, ed, si existe una I que hace verdaderas, a la vez, a todas las fbf de Γ.

Def.Un conjunto de fórmulas Γes Insatisfaciblesi no existe ninguna interpretación I que es modelo para todas las fbf de Γ.